Vienna

◇ 삼각비 삼각비는 내각의 크기에 따라 세 변의 비가 어떻게 정해지는지 나타낸 것. 직각삼각형에서 직각이 아닌 한 각이 정해지면 세 변의 길이의 비도 정해진다. 기준이 되는 각은 아래 그림에서 ∠A, ∠B 둘다 가능하겠지만, 보통 수학에서는 ∠A의 위치를 기준으로 하여 삼각비를 나타내기로 약속하였으며, 이를 기준각이라고 한다. 비 비의 값 비의 이름 표기법 높이 : 밑변 = a : b a/b 탄젠트 tan θ 밑변 : 빗변 = b : c b/c 코사인 cos θ 높이 : 빗변 = a : c a/c 사인 sin θ 위 그림을 토대로하면 다음과 같은 수식을 얻을 수 있다. $$\sin\Theta = \frac{\overline{CP}}{\overline{OP}}=\overline{CP}=\overline{O..

◇ 삼각형의 코사인법칙 A좌표는 삼각함수의 정의에 따라 x좌표는 b cos θ, y 좌표는 b sin θ이다. https://vienna.tistory.com/75 11장) 삼각함수와 복소수 - 삼각함수 ◇ 일반각? 특정 크기 하나를 Θ라고 할 때, 다음과 같이 일반화하여 나타낼 수 있다. 아래 수식에서 Θ는 대개 1회전 이내의 값을 택한다. $$(360\,^{\circ}\times n)+ \Theta (n \in Z)$$ ◇ 호도법? 호에 의해 vienna.tistory.com 그리고 피타고라스의 정리에 따르면 선분AB의 경우 다음과 같은 식을 가질 수 있다. $$\overline{AB} =c=\sqrt{(a-b\cos\Theta)^2+(0-b\sin\Theta)^2}=\sqrt{(a^2-2ab\cos..

◇ 삼각함수 간의 관계 ◆ sin θ 단위원에서 점 P의 y좌표에 해당. θ 0 P(+, +) π/2 P(-, +) π P(-, -) 3π/2 P(+, -) 2π sin θ 0 + 1 + 0 - -1 - 0 ◆ cos θ 단위원에서 점 P의 x좌표에 해당. θ 0 P(+, +) π/2 P(-, +) π P(-, -) 3π/2 P(+, -) 2π cos θ 1 + 0 - -1 - 0 + 1 ◆ tan θ 단위원에서 점 P의 y/x좌표에 해당. θ 0 P(+, +) π/2 P(-, +) π P(-, -) 3π/2 P(+, -) 2π tan θ 0 + 정의 안 됨 - 0 + 정의 안 됨 - 0 삼각함수 사이에는 피타고라스의 정리에 의해 다음 관계 성립. $$x^2+y^2= \overline{OP} ^2=1$$..

◇ 일반각? 특정 크기 하나를 Θ라고 할 때, 다음과 같이 일반화하여 나타낼 수 있다. 아래 수식에서 Θ는 대개 1회전 이내의 값을 택한다. $$(360\,^{\circ}\times n)+ \Theta (n \in Z)$$ ◇ 호도법? 호에 의해 각도를 정한다는 뜻. 호도법의 단위는 라디안(radian, 기호로 rad) 각 = 호의 길이 / 반지름 위 식에 따르면 호의 길이와 반지름의 길이가 같을 때 그 중심각은 1 라디안(≈57.3°)이다. 그리고 호의 길이를 반지름 r로 나눈 비율이 각도가 된다. 이를 기반으로 다음과 같은 수식을 얻을 수 있다. (r이 1이라고 가정) $$360\,^{\circ} = \frac{2\pi r}{r} = 2\pi (rad)$$ 따라서 라디안과 도 단위 사이에는 다음과 같..

◇ 다른 방법으로 정의하는 e y=1/x의 그래프와 x축이 만드는 영역을 잘 살펴보면, x값이 증가함에 따라 영역의 넓이가 증가하기는 하지만, 그래프가 점근선인 x축에 다가갈수록 영역의 넓이또한 점점 증가폭이 둔해진다 이 영역의 넓이를 x값에 대한 함수 g(x)라 두면 다음과 같은 성질이 존재한다. g(1) = 0 g(ab)=g(a) + g(b) g(a/b)=g(a)-g(b) g(a^b)=b*g(a) 즉, 이 넓이에 관한 함수 g(x)는 일종의 로그함수인 것이다. $$g(x)=log_{p}x$$ 그런데 x=e일 때 영역의 넓이 g(e)=1이므로 다음과 관계가 성립한다. $$g(e)=log_{p}e=1$$ 결론적으로, 다음과 같이 말할 수 있다. $$g(x)=log_{e}x$$ 이처럼 로그 중 밑이 e인 ..

◇ 무리수 e 연이율 r인 복리예금에 a만큼의 월급을 불입하고, 이자는 연말에 계산한다고 하자. 그럼 연말의 원리합계는 원금 a와 그에 대한 이자 ar이 더해져서 모두 a(1+r)이 된다. 하지만 만약 6개월에 한 번씩 r/2를 이율로 적용하여 이자를 지급하면 그 해 연말의 원리 합계는 얼마가 될까? 첫 6개월이 지난 후의 원리합계가 a(1+r/2)임은 명백하다. 이제 이 금액이 다음 6개월에 대한 원금이 되고, 그 원리 합계는 아래와 같을 것이다. $$\big\{a\cdot( 1+\frac{r}{2})\big\}\cdot(1+\frac{r}{2})=a(1+\frac{r}{2})^2$$ 이것을 일반화하면 다음과 같은 수식으로 표현할 수 있다. $$a(1+\frac{r}{n})^n$$ 여기서 더 나아가 시..

극한 개념은 무한수열의 합인 무한급수에도 마찬가지로 적용할 수 있다. 어떤 수열의 부분합 Sn의 극한이 있고, 수열의 초항부터 n번째 항까지 더한값이므로 n→∞일때 다음과 같이 표현할 수 있다. $$ \displaystyle \lim_{n \to \infty}S_{n}=\displaystyle \lim_{n \to \infty}\sum_{k=1}^{n}a_k$$ ◇ 급수의 수렴 조건 어떤 무한급수가 수렴한다면, 그 수열은 0으로 수렴한다. 이 명제의 대우, "어떤 무한수열이 0으로 수렴하지 않으면그 수열의 합은 발산한다" 역시 참이다. 하지만 역명제, "어떤 무한수열이 0으로 수렴하면 그 수열의 합은 수렴한다"는 참이 아니다. 다음과 같은 수열의 극한이 있다. $$a_{n}=\sqrt{n+1}-\sqrt..

◇ 무한대(∞) 어떤 수량이 한없이 커지는 상태 문자 n이 한없이 커지는 상태는 기호로 아래와 같이 쓴다. $$n\to \infty $$ n이 한없이 커짐에 따라 an이 특정한 값 c에 한없이 가까워질 때, 이 수열은 c에 수렴(Converge)한다고 한다. 이때 c를 수열 {an}의 극한값이라고 하며, 기호 lim을 사용하여 아래와 같이 표현할 수 있다. $$\displaystyle \lim_{n \to \infty }a_{n}=c$$ ◇ 수렴(Converge)의 엄밀한 정의 어떤 양수 e에 대해서도 그에 상응하는 자연수 N이 존재하여 k>=N인 모든 k에 대해서 |ak-c|

◇ 급수(Series): 수열의 항을 모두 더한 값 유한 수열의 합: 유한 급수 무한 수열의 합: 무한 급수 ◇ 부분합: 어떤 특정 항까지만 더한 값. $$S_{n}=a_{1}+a_{2}+a_{3}+\cdots +a_{n}$$ 예제: 어떤 수열 {an}의 초항부터 n번째 항까지 더한 합 Sn이 다음과 같을 때, 이 수열의 일반항을 구하여라. (1) 2n^2+n (2) 3^n-1 (3) 2n^3+3n^2+n 풀이 (1) $$S_{n}=2n^2+n$$ $$a_{n}=S_{n}-S_{n-1}=2n^2+n-(2(n-1)^2+(n-1))$$ $$2n^2+n-(2(n-1)^2+(n-1))=2n^2+n+(-2n^2+4n-2-n+1)=4n-3$$ $$\therefore a_{n}=4n-3$$ 나머지 문제는 아래 개념을..

◇ 수열(Sequence or Progression)이란? 숫자들이 차례로 나열된 것. 각 *항은 일정한 규칙을 따를 수도 있고, 아닐 수도 있다. * 수열에 나열된 각각의 숫자 유한 수열: 항의 개수가 유한한 경우 무한 수열: 항의 개수가 유한하지 않은 경우 예제: 다음 수열의 일반항 an을 구하여라. (1) 1/2, 1/3, 1,4, 1/5 ... (2) 4, 9, 16, 25, 36, ... (3) 1, 2, 1, 4, 1, 8, 1, 16 풀이 (1) 초항은 1/2이며, 분모가 1씩 증가하므로 $$a_{n}=\frac{1}{n-1}$$ (2) 초항이 2^2, 그리고 밑이 1씩 증가하고 있으므로 $$a_{n}=(n-1)^2$$ (3) 홀수항의 경우에는 1, 짝수항의 경우에는 2의 k 제곱의 형태이다..