10장) 수열과 극한 - 자연로그

◇ 다른 방법으로 정의하는 e

y=1/x의 그래프

y=1/x의 그래프와 x축이 만드는 영역을 잘 살펴보면,

x값이 증가함에 따라 영역의 넓이가 증가하기는 하지만, 그래프가 점근선인 x축에 다가갈수록 영역의 넓이또한 점점 증가폭이 둔해진다 이 영역의 넓이를 x값에 대한 함수 g(x)라 두면 다음과 같은 성질이 존재한다.

• g(1) = 0
• g(ab)=g(a) + g(b)
• g(a/b)=g(a)-g(b)
• g(a^b)=b*g(a)

즉, 이 넓이에 관한 함수 g(x)는 일종의 로그함수인 것이다.

$$g(x)=log_{p}x$$

그런데 x=e일 때 영역의 넓이 g(e)=1이므로 다음과 관계가 성립한다.

$$g(e)=log_{p}e=1$$

결론적으로, 다음과 같이 말할 수 있다.

$$g(x)=log_{e}x$$

 

이처럼 로그 중 밑이 e인 것을 자연로그라고 하며, 흔히 ln x(logarithm natrual x)로 나타낸다.

 

◇ 오일러-마스케로니 상수

조화급수 Hn은 1/n까지의 값들을 더해가는 것이고, y=1/x그래프가 만드는 영역의 넓이가 ln x로 나타낸다는 것을 위에서 알았다.

즉, 둘은 모종의 관계가 있어 보인다.

그리고 위 표를 보면, n이 증가함에 따라 격차가 점점 좁혀지지만, 그 차이가 완전히 사라지지는 않고,

어떤 값으로 수렴하는 것처럼 보인다.

실제로 조화급수와 자연로그 간의 차는 n->∞일 때 특정한 값으로 수렴함이 알려져 있다.

그 값을 오일러-마스케로니 상수라고 부른다.

$$ \gamma =  \lim_{n \rightarrow \infty} (\mathrm{H}_{n}-ln n)=0.577215664 \ldots $$