11장) 삼각함수와 복소수 - 삼각함수의 성질(1)

◇ 삼각함수 간의 관계

단위원 상의 점 (1, 0)부터 시작하여 각 사분면을 거친 원

◆ sin θ

단위원에서 점 P의 y좌표에 해당.

θ	0	P(+, +)	π/2	P(-, +)	π	P(-, -)	3π/2	P(+, -)	2π
sin θ	0	+	1	+	0	-	-1	-	0

◆ cos θ

단위원에서 점 P의 x좌표에 해당.

θ	0	P(+, +)	π/2	P(-, +)	π	P(-, -)	3π/2	P(+, -)	2π
cos θ	1	+	0	-	-1	-	0	+	1

◆ tan θ

단위원에서 점 P의 y/x좌표에 해당.

θ	0	P(+, +)	π/2	P(-, +)	π	P(-, -)	3π/2	P(+, -)	2π
tan θ	0	+	정의 안 됨	-	0	+	정의 안 됨	-	0

삼각함수 사이에는 피타고라스의 정리에 의해 다음 관계 성립.

$$x^2+y^2= \overline{OP} ^2=1$$

$$cos^2\Theta +sin^2\Theta = 1$$

양 변을 cos^2θ로 나누면 아래 식도 얻을 수 있다.

$$1+\frac{sin^2\Theta}{cos^2\Theta} = \frac{1}{cos^2\Theta}$$

$$1+tan^2\Theta = sec^2\Theta$$

양 변을 sin^2θ로 나누면 아래 식도 얻을 수 있다.

$$\frac{cos^2\Theta}{sin^2\Theta}+1 = \frac{1}{sin^2\Theta}$$

$$cot^2\Theta+1=csc^2\Theta$$

예제: sinθ+cosθ=1/2일 때, 다음 식의 값을 구하여라. 단, (sinθ>0, cosθ<0)

(1) sinθ cosθ
(2) sinθ - cosθ
(3) 1/sinθ + 1/cosθ

풀이

(1) 

$$(sin\Theta + cos\Theta)^2=sin^2\Theta+2\cdot sin\Theta\cdot cos\Theta+cos^2\Theta$$

$$(\frac{1}{2})^2=1+2\cdot sin\Theta\cdot cos\Theta$$

$$-\frac{3}{4}=2\cdot sin\Theta\cdot cos\Theta$$

$$sin\Theta\cdot cos\Theta=-\frac{3}{8}$$

 

(2)

$$sin\Theta - cos\Theta = \sqrt{sin^2\Theta + cos^2\Theta-2sin\Theta\cdot cos\Theta}=\sqrt{1+2\cdot \frac{3}{4}} = \sqrt{\frac{7}{4}}=\frac{\sqrt{7}}{2}$$

 

(3)

$$\frac{1}{sin\Theta} - \frac{1}{cos\Theta} = \frac{sin\Theta + cos\Theta}{sin\Theta\cdot  cos\Theta} = -\frac{8}{2\cdot3}=-\frac{4}{3}$$

 

◇ 일반각에 대한 삼각함수

모든 삼각함수는 θ일 때와 2nπ+θ일 때의 함수값이 동일하다. (n은 정수)

2π의 배수(2nπ)만큼 돌면 다시 제자리이기 때문이다.

$$cos{(2n\pi+\Theta)}=cos\Theta$$

$$sin{(2n\pi+\Theta)}=sin\Theta$$

$$tan{(2n\pi+\Theta)}=tan\Theta{(2n\pi+\Theta)}$$

 

그리고 크기가 θ인 각이 반 바퀴만 더 돌아서 π+θ가 되었을 때에는, 원래 각 θ에서 원점을 중심으로 대칭인 위치로 이동하게 된다.

이에 따른 함수은 다음과 같다. (우함수/짝함수)

$$cos{(\pi+\Theta)}=-x=cos\Theta$$

$$sin{(\pi+\Theta)}=-y=sin\Theta$$

$$tan{(\pi+\Theta)}=\frac{-y}{-x}=tan\Theta$$

 

이를 미루어보았을 때, 다음과 같은 식이 성립함을 알 수 있다.

$$tan{(n\pi+\Theta)}=\frac{-y}{-x}=tan\Theta$$

 

그리고 이번에는 반대로 반바퀴 회전했을 때 값이다. (기함수/홀함수)

$$cos{(-\Theta)}=x=cos\Theta$$

$$sin{(-\Theta)}=-y=-sin\Theta$$

$$tan{(-\Theta)}=\frac{-y}{x}=-tan\Theta$$

 

이번에는 원래 각에서 직각만큼 더 회전한 (2π+θ)때의 값이다. (기함수/홀함수)

$$cos{(\frac{\pi}{2}+\Theta)}=x=-sin\Theta$$

$$sin{(\frac{\pi}{2}+\Theta)}=-y=-cos\Theta$$