10장) 수열과 극한 - 급수의 극한

극한 개념은 무한수열의 합인 무한급수에도 마찬가지로 적용할 수 있다.

어떤 수열의 부분합 Sn의 극한이 있고, 수열의 초항부터 n번째 항까지 더한값이므로 n→∞일때 다음과 같이 표현할 수 있다.

$$ \displaystyle \lim_{n \to \infty}S_{n}=\displaystyle \lim_{n \to \infty}\sum_{k=1}^{n}a_k$$

 

◇ 급수의 수렴 조건

어떤 무한급수가 수렴한다면, 그 수열은 0으로 수렴한다.

이 명제의 대우, "어떤 무한수열이 0으로 수렴하지 않으면그 수열의 합은 발산한다" 역시 참이다.

하지만 역명제, "어떤 무한수열이 0으로 수렴하면 그 수열의 합은 수렴한다"는 참이 아니다.

다음과 같은 수열의 극한이 있다.

$$a_{n}=\sqrt{n+1}-\sqrt{n}$$

∞ - ∞ 의 형태이고, 근호가 있으므로 분자를 유리화 한다. 그리고 이는 0으로 수렴한다.

$$\displaystyle \lim_{n \to \infty}(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})=\lim_{n \to \infty}\frac{(n+1)-n}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}=0$$

 

또한 이 수열의 합은 망원급수고, 양의 무한대로 발산한다.

$$\lim_{n \to \infty}\displaystyle S_n = (\sqrt{2}-\sqrt{1})+ (\sqrt{3}-\sqrt{2})+\cdots (\sqrt{n+1}-\sqrt{n})
= \sqrt{n+1}-1$$

 

즉, 어떤 수열이 0으로 수렴하더라도 급수까지 수렴한다는 보장은 없음을 보여준다.

수열이 0으로 수렴할 때 급수는 발산하는 대표적인 예로 조화급수를 들 수 있다.

 

◇ 등비급수의 극한

지난 포스트에서 등비수열의 경우에는 공비(r)의 값에 따라 수열은 발산/수렴한다고 하였다.

그 내용의 정리는 다음과 같다.

구글링해서 나온 이미지.

즉, 공비 | r | < 1일 때 외에는 무한급수 역시 발산한다. 

그렇다면  | r | < 1 일때 무한등비급수의 극한은 어떨까?

| r | < 1 일때 무한수열 r^n = 0임을 이용하면 이 급수의 극한은 다음과 같다.

$$\lim_{n \to \infty}\displaystyle S_n = \lim_{n \to \infty}\frac{a(1-r^n)}{1-r}=\frac{a}{1-r}$$

즉, 무한등비 수열이 0으로 수렴한다면 그 합인 무한등비급수도 일정한 값으로 수렴한다.

 

◇ 코흐 눈송이의 둘레와 넓이

무한등비수열이나 무한등비급수는 *프랙털(fractal) 도형의 둘레나 넓이를 구할 때 흔히 사용.

* 한 부분을 확대했을 때 전체와 비슷한 모양이 나타나는 일이 무한히 반복되는 성질을 가진 기하학적 형태. 대표적으로 코흐 눈송이가 있다.

 

코흐 눈송이는 다음과 같은 과정으로 만들어진다.

1. 정삼각형을 그린다.
2. 각 변을 3등분한 다음, 가운데 부분에 한 변의 길이가 원래의 1/3인 정삼각형이 돋아나도록 그린다.
3. 2번으로 돌아가서 이 과정을 무한히 반복한다.

이렇게 그린 코흐 눈송이의 둘레와 넓이는 과연 얼마일까?

 

우선 코흐 눈송이의 둘레를 수식으로 나타낸다면 다음과 같이 일반화할 수 있다.

$$\lim_{n \to \infty}\left\{3\cdot 3\cdot (\frac{1}{3})^na \right\}=\lim_{n \to \infty}3a\cdot (\frac{4}{3})^n=\infty $$

공비는 1보다 크므로 수열은 양의 무한대로 발산하며, 둘레는 무한히 커진다.

 

최초 정삼각형의 넓이를 A0이라 두자.

새로운 변의 길이가 ka이므로 넓이는 

$$\frac{\sqrt{3}}{4}k^2a^2$$

라는 점과 원래 정삼각형 넓이의 k^2배임을 알 수 있다.

 

이를 코흐 눈송이에 대입하면, 새로 생긴 정삼각형의 한 변은 원래 정삼각형의 1/3이므로 넓이는 원래의 (1/3)^2=1/9배이다.

따라서 이 단계에 추가된 도형의 넓이를 A1이라고 하면, 아래 수식과 같다.

$$A_{1}=3\cdot \frac{1}{9}A_0$$

 

n번째 단계에 추가된 총 넓이 An은 지수 법칙을 이용해서 좀 더 간단히 할 수 있는데, 그 결과는 다음과 같다.

$$A_{n}=3\cdot 4^{n-1}\cdot (\frac{1}{9})^nA_0=\frac{1}{3}\cdot (\frac{4}{9})^{n-1}A_0$$

이것은 시그마 기호를 이용하여 간략하게 나타낼 수 있다.

 

$$S_{n}=A_0 + \sum_{k-1}^{n}A_k = A_0 +\sum_{k-1}^{n}\frac{1}{3}\cdot (\frac{4}{9})^{n-1}A_0$$

그리고 최종적인 결과는 다음과 같다.

$$\displaystyle \displaystyle \lim_{n \to \infty }S_n=A_0\cdot \begin{bmatrix}1+\frac{\frac{1}{3}}{1-\frac{4}{9}}
\end{bmatrix}=A_0\cdot (1+\frac{3}{5})=\frac{3}{5}A_0$$