10장) 수열과 극한 - 무리수 e

◇ 무리수 e

연이율 r인 복리예금에 a만큼의 월급을 불입하고, 이자는 연말에 계산한다고 하자.

그럼 연말의 원리합계는 원금 a와 그에 대한 이자 ar이 더해져서 모두 a(1+r)이 된다.

 

하지만 만약 6개월에 한 번씩 r/2를 이율로 적용하여 이자를 지급하면 그 해 연말의 원리 합계는 얼마가 될까?

첫 6개월이 지난 후의 원리합계가 a(1+r/2)임은 명백하다.

이제 이 금액이 다음 6개월에 대한 원금이 되고, 그 원리 합계는 아래와 같을 것이다.

$$\big\{a\cdot( 1+\frac{r}{2})\big\}\cdot(1+\frac{r}{2})=a(1+\frac{r}{2})^2$$

 

이것을 일반화하면 다음과 같은 수식으로 표현할 수 있다.

$$a(1+\frac{r}{n})^n$$

 

여기서 더 나아가 시간 단위나 분 단위로 이자를 계산한다면 과연 어떤 결과를 얻을까?

발산할 것인가? 아니면 수렴할 것인가?

 

위 식이 r에 영향을 받지 않도록 1로 만들면 아래와 같다.

$$(1+\frac{1}{n})^n$$

 

그럼 n이 무한히 커질 때 이 식의 극한은 어떻게 되는가?

그것은... 수학자들이 다음과 같은 특정 값에 수렴한다는 것을 알아냈는데, 그 값을 기호로 e라 쓴다.

$$\lim_{n \rightarrow \infty} (1+\frac{1}{n})^n=2.718281828459045  \ldots =e$$

 

때로는 n의 역수 1/n  t로 두고 t->0의 꼴로 쓰기도 한다고.

이 경우에는 수열이 아니라 함수의 형태라고 한다.

$$\lim_{t \rightarrow 0} (1+t)^{\frac{1}{t}}=e$$

 

위 식에 다시 r을 포함시켜서 극한 값을 계산하면 

$$\lim_{n \rightarrow \infty}(1+\frac{r}{n})^n=\lim_{n \rightarrow \infty}(1+\frac{r}{n})^{\frac{n}{r}\cdot r}$$

 

여기서 n/r=t라고 두면 다음과 같이 결과를 얻을 수 있다.

$$\lim_{n \rightarrow \infty}(1+\frac{r}{n})^{\frac{n}{r}\cdot r}=\lim_{n \rightarrow \infty}(1+\frac{1}{t})^{t\cdot r}=[\lim_{n \rightarrow \infty}(1+\frac{1}{t})^{t}]^r=e^r$$

 

그리고 아래와 같은 형태는 (a+b)^n 모양으로 되어있는데, 그에 따라 이항 정리를 적용할 수 있다.

이항 정리를 적용한 뒤에는 분모의 최고차항으로 위아래를 나누고, 극한을 취하면 상당히 흥미로운 결과를 얻는다.

$$\lim_{n \rightarrow \infty}  \sum_{k=0}^n \frac{1}{k!} \cdot 1\cdot (1-\frac{1}{n})\cdot  \ldots (1-\frac{k}{n}+\frac{1}{n})=\lim_{n \rightarrow \infty}  \sum_{k=0}^n \frac{1}{k!}$$

 

그리고 이건 곧 팩토리얼의 역수의 합이다.

$$\frac{1}{0!}+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+ \ldots $$

 

이 식은 n이 증가함에 따라 e의 실제 값에 빠르게 수렴한다고 한다.

 

즉, 내용을 정리하면 다음과 같다.

$$\lim_{n \rightarrow \infty}(1+\frac{1}{n})^{n}=\lim_{n \rightarrow 0} (1+n)^{\frac{1}{n}}= \sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{k!} =e$$