10장) 수열과 극한 - 수열의 합

◇ 급수(Series): 수열의 항을 모두 더한 값

유한 수열의 합: 유한 급수

무한 수열의 합: 무한 급수

 

◇ 부분합: 어떤 특정 항까지만 더한 값.

$$S_{n}=a_{1}+a_{2}+a_{3}+\cdots +a_{n}$$

 

예제: 어떤 수열 {an}의 초항부터 n번째 항까지 더한 합 Sn이 다음과 같을 때, 이 수열의 일반항을 구하여라.

(1) 2n^2+n
(2) 3^n-1
(3) 2n^3+3n^2+n

풀이

(1)

$$S_{n}=2n^2+n$$

$$a_{n}=S_{n}-S_{n-1}=2n^2+n-(2(n-1)^2+(n-1))$$

$$2n^2+n-(2(n-1)^2+(n-1))=2n^2+n+(-2n^2+4n-2-n+1)=4n-3$$

$$\therefore a_{n}=4n-3$$

 

나머지 문제는 아래 개념을 계속 활용하여 푸는 것이기 때문에 시간관계상 1문제만 풀고 넘어간다.

$$a_{n}=S_{n}-S_{n-1}$$

 

■ 각 수열의 합

◇ 산술급수(Arithmetic Series): 등차수열의 합

$$S_{n}=\frac{\left\{2a+(n-1)d \right\}\cdot n}{2}$$

◇ 기하급수(Arithmetic Series): 등비수열의 합

등비수열 an의 초항을 a, 공비를 r이라고 했을 떄 수열의 부분합 Sn은 다음과 같다.

$$S_{n}=a+ar+ar^2+ar^3+\cdots +ar^{n-2}+ar^{n-1}$$

위 식에서 양변에 r을 곱해보면

$$r\cdot S_{n}=ar+ar^2+ar^3+ar^4+\cdots +ar^{n-1}+ar^{n}$$

 

두식의 차를 구하면 아래와 같다. 이 형태는 r<1 인 경우에 흔히 사용한다.

$$(1-r)\cdot S_{n}=a-ar^{n}$$

$$S_{n}=\frac{a-ar^{n}}{1-r}$$

 

반대로 빼면 아래와 같으며, 이 형태는 r>1인 경우에 흔히 사용한다.

$$(r-1)\cdot S_{n}=ar^n-a$$

$$S_{n}=\frac{ar^n-a}{(r-1)}$$

 

어떤 수열의 부분합이 아래의 꼴이라면 그 수열은 등비수열이다.

$$S_{n}=X-Xr^n\,\,\,\,\,\,\,\, OR\,\,\,\,\,\,\, S_{n}=Yr^n-Y$$

 

■ ∑ 기호의 뜻과 성질

수열 an의 초항부터 n항까지 더한 합은 다음과 같이 표기한다.

$$S_{n}=\sum_{i=1}^{n}a_{i}$$

◇ 망원급수(Telescoping Series)의 합

$$\frac{1}{1\cdot 2}+\frac{1}{2\cdot 3}+\cdots \frac{1}{n\cdot (n+1)}$$

이러한 식은 일반적인 방법으로 구하기 쉽지 않아 보인다.

이럴 때 부분분수의 전개라는 식의 도움을 받을 수 있다.

$$\frac{1}{AB}=\frac{1}{AB}\cdot \frac{B-A}{B-A}=\frac{1}{B-A}\cdot \frac{B-A}{AB}=\frac{1}{B-A}(\frac{B}{AB}-\frac{A}{AB})=\frac{1}{B-A}(\frac{1}{A}-\frac{1}{B})$$

 

즉, 두 숫자 p, q가 있고 p+1=q가 성립된다고 하자.

그럼 다음과 같이 볼 수 있다.

$$\frac{1}{pq}=\frac{1}{p}-\frac{1}{q}$$

 

이 부분분수의 전개를 이용하여 다시 식을 써보면

$$\frac{1}{1\cdot 2}+\frac{1}{2\cdot 3}+\cdots +\frac{1}{n\cdot (n+1)}=1-\frac{1}{n+1}$$

 

이와 같이 급수를 전개할 때 이렇게 중간 항들이 서로 상쇄되면서 앞과 뒤쪽의 비교적 단순한 부분만 남는 경우를 망원급수라고 한다.

 

이러한 성질을 이용하면 계차수열의 합도 구할 수 있다.

계차수열의 합 구하는 식

원래수열과 계차수열의 합 관계