Vienna

■ 표본공간과 사건 ◇ 표본공간(Sample Space)이란? *시행에서 나올 수 있는 모든 **결과의 집합 *반복 가능한행위 ** 사건 표본공간 s의 부분집합인 어떤 사건을 E라고 했을 때, 사건 E가 일어날 확률 P(E)는 다음과 같이 집합의 크기를 써서 정의. $$P(E)=\frac{\left|E\right|}{\left|S\right|}$$ ◇ 근원사건이란? 표본공간의 부분집합 중에서 원소가 하나인 것들로 더 이상 분리할 수 없는 사건 ◇ 배반사건이란? 사건 중 서로 동시에 일어날 수 없는 사건들 (여사건도 배반사건의 일종) 예제: 다음 확률을 구하여라. (1) 1~40 사이의 서로 다른 숫자를 6개 맞히는 게임에서 4개 이상 맞을 확률 (2) 5명이 원탁에 둘러 앉을 때, 그중 연인이 두 명이 ..

■ 이항정리와 이항계수 ◇ 조합론: 경우의 수를 세는 일 조합론은 다항식의 전개와 특별한 연관성이 존재. $$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$$ 이 식의 전개과정을 살펴보면, 다음과 같은 항들이 만들어지고 있다. $$(a+b)^2=(a+b)(a+b)=aa+ab+ba+bb$$ 나열된 모든 항이 문자 2개의 곱으로 이루어 있다. 그렇다면 3개의 (a+b)로부터 b를 1개만 고르는 경우의 수는 몇이 될까? $$\binom{3}{1}=\frac{3!}{1!\cdot 2!}=3$$ 앞서의 전개 결과로 돌아가서, 곱셈의 교환 법칙에 의해 실질적으로 같아지는 항을 한 곳으로 모으고 정리하면 $$(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$$ $$=\binom{3}{3}a^3b^0 +\binom{3}{2}a^..

1. 0~9의 숫자 카드를 나열해서 만들 수 있는 10자리 자연수는 모두 몇 개인가? 풀이: 10개의 숫자 카드를 10자리로 나열하는 경우의수를 구한 뒤 첫 번째 숫자로 0이오는 경우의 수, 즉 1~9 숫자카드로 9자리로 나열하는 경우의 수를 빼면 된다. 즉, 수식으로 하면 아래와 같다. $$_{10}\mathrm{P}_{10}-_{9}\mathrm{P}_{9}=10!-9!=3628800-362880=3265920$$ 2. 'OOSTZAAN' 속의 글자를 나열하는 경우의 수를 모두 구하여라. 풀이: 8개의 문자를 나열하는 경우의 수에서 서로 구분이 없는 O와 A 각 문자끼리 서로 나열하는 경우의 수로 나누어 주면 된다. $$\frac{8!}{2!\cdot 2!}=\frac{8!}{4}=10080$$ 3...

■ 조합(Combination)의 수: 순서에 상관하지 않고 뽑는 경우의 수 순서대로 나열한 다음에 그 순서로 인해 중복된 경우들을 나눗셈으로 상쇄한다는 것을 이용하여 아래와 같은 수식으로 나타낼 수 있다. $$\binom{n}{k}=\frac{_{n}\mathrm{P}_{k}}{k!}=\frac{n!}{(n-k)!}\cdot \frac{1}{k!}=\frac{n!}{k!(n-k)!}$$ 곱셈은 교환법칙이 성립. 즉, k개를 뽑는 경우의 수는 결국 (n-k) 개를 뽑는 경우의 수와 같아짐. $$\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}=\frac{n!}{(n-k)!k!}=\binom{n}{n-k}$$ ◇ k에 몇몇 특정한 값을 넣으면 다음과 같은 결과를 얻음 $$\binom{n}{0}=1..

■ 팩토리얼(Factorial)이란? 이어지는 숫자 여러개를 곱하는 것. $$ n! =n\times(n-1)\times(n-2)\times\cdots\times1$$ ■ 순열(Permutattion)이란? 순서를 가지고 나열하는 것. ex: 사람이나 사물을 한 줄로 세우는 등 ◇ 순열을 팩토리얼로 나타낸다면 n개의 대상 중에서 k개만 한 줄로 세우는 경우의 수 $$_{n}\mathrm{P}_{k}=\frac{n!}{(n-k)!}$$ ◇ k자리에 몇몇 특정 값을 넣는 경우 $$_{n}\mathrm{P}_{0}=\frac{n!}{n!}$$ $$_{n}\mathrm{P}_{1}=\frac{n!}{(n-1)!}=n$$ $$_{n}\mathrm{P}_{n-1}=\frac{n!}{1!}=n!$$ $$_{n}\mat..