11장) 삼각함수와 복소수 - 삼각함수

◇ 일반각?

특정 크기 하나를 Θ라고 할 때, 다음과 같이 일반화하여 나타낼 수 있다.

아래 수식에서 Θ는 대개 1회전 이내의 값을 택한다.

$$(360\,^{\circ}\times n)+ \Theta  (n \in Z)$$

◇ 호도법?

호에 의해 각도를 정한다는 뜻.

호도법의 단위는 라디안(radian, 기호로 rad)

각 = 호의 길이 / 반지름

위 식에 따르면 호의 길이와 반지름의 길이가 같을 때 그 중심각은 1 라디안(≈57.3°)이다.

 

그리고 호의 길이를 반지름 r로 나눈 비율이 각도가 된다.

이를 기반으로 다음과 같은 수식을 얻을 수 있다. (r이 1이라고 가정)

$$360\,^{\circ} = \frac{2\pi r}{r} = 2\pi (rad)$$

따라서 라디안과 도 단위 사이에는 다음과 같은 `관계가 성립한다.
$$180\,^{\circ} = \pi (rad)$$

$$\therefore 1\,^{\circ} = \frac{\pi}{180} (rad)$$

그에 따라 도 단위의 각을 라디안으로 바꾸는 것도 간단하다.

$$rad = deg\times \frac{\pi}{180\,^{\circ}}$$

 

이제 부채꼴 호의 길이를 살펴보자.

$$l = 2\pi r \times \frac{\Theta}{2\pi}=r\Theta$$

부채꼴 호의 길이는 반지름과 각도를 곱하면 되는 것을 알아낼 수 있다.

 

이번에는 부채꼴의 넓이를 살펴보자.

$$S = 2\pi r^2 \times \frac{\Theta}{2\pi}=\frac{1}{2}r^2\Theta$$

위 식은 아래와 같이도 표현 가능하다.

$$S =\frac{1}{2}r^2\Theta=\frac{1}{2}r\cdot r\Theta = \frac{1}{2}rl$$

 

위에서 나온 시들은 각의 단위와는 관계없이 성립한다.

 

일반각은 육십분법으로 

$$(360\,^{\circ}\times n)+ \Theta $$ 이므로 호도법으로는 다음과 같다.

$$(360\,^{\circ}\times n)+ \Theta =2n\pi + \Theta$$

◇ 삼각함수?

반지름이 r인 원 위의 한 점 P(x, y)를 정하고 선분 OP와 가로축 양 방향이 이루는 각 Θ

각 Θ에 대해 다음과 같은 값을 대응시키는 함수 두 개를 정의할 수 있게 된다.

$$cos \Theta = g(\Theta) = \frac{y}{ \overline{OP}} = \frac{y}{r}$$

$$sin\Theta = g(\Theta) = \frac{y}{ \overline{OP}} = \frac{y}{r}$$

 

그리고 위의 두 함수를 이용하면 다음과 같은 함수를 하나 정의할 수 있게 된다.

$$tan\Theta = \frac{y}{x} = \frac{\frac{y}{r}}{\frac{x}{r}}=\frac{cos\Theta}{sin\Theta}$$

 

이 함수들의 역수를 대응시키는 함수도 정의할 수 있다.

다만 함숫값이 역수일 뿐 역함수는 아니다.

$$sec\Theta = \frac{1}{cos\Theta}$$

$$csc\Theta = \frac{1}{sin\Theta}$$

$$cot\Theta = \frac{1}{tan\Theta}$$

 

sin, cos, tan 함수와 sec, csc, cot 함수를 통틀어서 삼각함수라고 한다.