10장) 수열과 극한 - 여러가지 수열

◇ 수열(Sequence or Progression)이란?

숫자들이 차례로 나열된 것.

각 *항은 일정한 규칙을 따를 수도 있고, 아닐 수도 있다.

* 수열에 나열된 각각의 숫자

• 유한 수열: 항의 개수가 유한한 경우
• 무한 수열: 항의 개수가 유한하지 않은 경우

예제: 다음 수열의 일반항 an을 구하여라.

(1) 1/2, 1/3, 1,4, 1/5 ...
(2) 4, 9, 16, 25, 36, ...
(3) 1, 2, 1, 4, 1, 8, 1, 16

풀이

(1) 초항은 1/2이며, 분모가 1씩 증가하므로

$$a_{n}=\frac{1}{n-1}$$

(2) 초항이 2^2, 그리고 밑이 1씩 증가하고 있으므로

$$a_{n}=(n-1)^2$$

(3) 홀수항의 경우에는 1, 짝수항의 경우에는 2의 k 제곱의 형태이다. 그러므로

$$a_{n}=\left\{\begin{matrix}n\bmod\,2==1 \Rightarrow  1
 \\n\bmod\,2==0 \Rightarrow  2^{n/2}
\end{matrix}\right.$$

◇ 등차수열(Arithmetic Progression)이란?

앞항에다 *공차를 더하거나 빼서 만들어지는 수열.

* 모든 항에 공통되는 항 사이의 차 (d = common difference)

$$a_{n}=a_{n-1}+d$$

◇ 등비수열(Geometric Progression)이란?

앞항에다 *공비를 곱해서 만들어지는 수열.

* 항 사이의 일정한 비 (r = common ratio)

$$a_{n}=a_{n-1}\cdot r=ar^{n-1}$$

 

어떤  세 개의 수 x, y, z가 차례로 등비수열을 이루고, 그 공비가 r이라면 다음 관계 성립.

$$y\div x = r$$

$$z\div y = r $$

 

r 대신 두 좌변을 등치시키면

$$y\div x = z\div y $$

$$y^{2}=xz$$

$$\therefore  y=\pm \sqrt{xz}$$

◇ 조화수열(Harmonic Progression)이란?

어떤 수열의 각 항에 역수를 취하여 등차수열이 될때의 원래 수열.

$$h_{n}=\frac{1}{a+(n-1)d}$$

◇ 세 가지 평균의 관계

어떤 양수 a, b가 있다고 가정.

$$(a-b)^2=(a+b)^2-4ab\geq 0$$

$$(a+b)^2\geq 4ab$$

$$\therefore \frac{a+b}{2}\geq \sqrt{ab}$$

즉, 산술평균은 항상 기하평균보다 크거나 같다는 성질을 발견할 수 있다.

 

$$\sqrt{ab}-\frac{2ab}{a+b}=\frac{\sqrt{ab}(a+b)-2ab}{a+b}=\frac{\sqrt{ab}(a+b)-2\sqrt{ab}\sqrt{ab}}{a+b}=\frac{\sqrt{ab}(a+b-2\sqrt{ab})}{a+b}=\frac{\sqrt{ab}(\sqrt{a}-\sqrt{b})^2}{a+b}\geq0$$

 

그리고 양수*양수^2/양수는 결국 0이상의 값이 나온다.

때문에 위와 같은 부등식을 만들 수 있다.

$$\therefore \sqrt{ab}\geq \frac{2ab}{a+b}$$

 

정리하면 두 양수 a와 b의 세 가지 평균 사이에는 다음과 같은 관계가 성립한다. (등호는 a=b일 때를 말한다)

$$\therefore \frac{a+b}{2} \geq  \sqrt{ab}\geq \frac{2ab}{a+b}$$

◇ 계차수열이란?

인접한 두 항 사이의 차를 자신의 항으로 하는 수열.

$$b_{n}=a_{n+1}-a_{n}$$

이미지를 보면 원래 수열은 n에 대한 이차식이지만, 계차수열의 일반항은 일차식임을 발견할 수 있다.

$$b_{n}=a_{n+1}-a_{n}=(n+1)^2-n^2=(n^2+2n+1)-n^2=2n+1$$

 

즉, 어떤 수열이 k차 다항식으로 표현될 때 그 계차수열은 (k-1)차 다항식으로 표현됨을 알 수 있다.

◇ 점화식(Recurrennce Relation)이란?

어떤 항과 그 이전 항과의 재귀 관계를 나타낸 식