10장) 수열과 극한 - 수열의 극한

수학/수학 리부트

아는개발자 2023. 5. 7. 16:36

어떤 수량이 한없이 커지는 상태

문자 n이 한없이 커지는 상태는 기호로 아래와 같이 쓴다.

$$n\to \infty $$

n이 한없이 커짐에 따라 an이 특정한 값 c에 한없이 가까워질 때, 이 수열은 c에 수렴(Converge)한다고 한다.

이때 c를 수열 {an}의 극한값이라고 하며, 기호 lim을 사용하여 아래와 같이 표현할 수 있다.

$$\displaystyle \lim_{n \to \infty }a_{n}=c$$

어떤 양수 e에 대해서도 그에 상응하는 자연수 N이 존재하여
k>=N인 모든 k에 대해서 |ak-c|<e이면
수열{an}은 c에 수렴한다고 정의하며, 이때 c를 수열의 극한값이라고 한다.

$$\left| a_{k}-c \right|<\epsilon $$

$$-\epsilon <(a_{k}-c)<\epsilon$$

$$\therefore c-\epsilon <a_{k}<c+\epsilon$$

수열이 양의 무한대로 발산한다는 것은,
어떤 값 K에 대해서도 그에 상응하는 자연수 N이 존재하여 ∀n>=N에 대해 an>K라는 것이다.

음의 무한대의 경우에는 이와 반대로 정의한다.

수열이 음의 무한대로 발산한다는 것은,
어떤 값 K에 대해서도 그에 상응하는 자연수 N이 존재하여 ∀n>=N에 대해 an<K라는 것이다.

만약 수열 an이 수렴한다면, 각 항에 k배 한 수열 {kan}의 극한값은 다음과 같다.

$$\displaystyle \lim_{n \to \infty }ka_{n}=k\cdot \displaystyle \lim_{n \to \infty }a_{n}$$

이러한 성질은 사칙연산에 대해 유사한 성질이 성립한다.

(단, 나눗셈의 경우 분모는 0으로 수렴하지 않아야 한다.)

분모와 분자가 모두 발산하는 경우에는 극한값의 기본 성질을 바로 이용하지는 못한다.

분수 꼴로 나타난 수열의 극한은 분모의 최고차항으로 위아래를 나눠주면 쉽게 계산할 수 있따.

이때 분자와 분모의 값에 따라 다음과 같은 결과를 얻을 수 있다.

이때도 어느 쪽의 차수가 크냐에 따라 부호가 정해진다.

$$\displaystyle \lim_{n \to \infty }(n^2-2n)=\infty$$

$$\displaystyle \lim_{n \to \infty }(2n-n^2)=-\infty$$

근호가 있는 경우에는 근호가 있는 쪽을 유리화한다.

등비수열의 경우에는 공비의 값에 따라 여려가지 모습이 나타난다.