9장) 경우의 수와 확률 - 연습문제 p.301

1. 0~9의 숫자 카드를 나열해서 만들 수 있는 10자리 자연수는 모두 몇 개인가?

풀이: 10개의 숫자 카드를 10자리로 나열하는 경우의수를 구한 뒤 첫 번째 숫자로 0이오는 경우의 수, 즉 1~9 숫자카드로 9자리로 나열하는 경우의 수를 빼면 된다. 즉, 수식으로 하면 아래와 같다.

$$_{10}\mathrm{P}_{10}-_{9}\mathrm{P}_{9}=10!-9!=3628800-362880=3265920$$

 

2. 'OOSTZAAN' 속의 글자를 나열하는 경우의 수를 모두 구하여라.

풀이: 8개의 문자를 나열하는 경우의 수에서 서로 구분이 없는 O와 A 각 문자끼리 서로 나열하는 경우의 수로 나누어 주면 된다.

$$\frac{8!}{2!\cdot 2!}=\frac{8!}{4}=10080$$

 

3. 다음과 같은 4X3 격자 모양의 길이 있는데, 중간에 X로 표시된 곳은 사고가 나서 지나갈 수 없다고 한다. 이 때 A에서 B로 가는 최단 경로는 몇 가지나 있는가?

풀이: 오른쪽으로 4번, 아래로 3번 가는 경우의 수를 먼저 구하면 다음과 같다.

$$\frac{7!}{4!\cdot 3!}=35$$

그리고 이 값에서 X자로 지나가는 경우의 수를 구해서 빼내면 된다.

X 자로 지나가는 경우의 수는 어떻게 구할까?

일단 X 길을 지나게 되면 B로 가는 경우의 수는 2가지 뿐이다.

그러므로 A에서 X 길로 가는 경우의 수를 구한 뒤, 2로 곱해주면 된다.

오른쪽으로 2번, 아래로 2번 가는 경우의 수 이므로

$$\frac{4!}{2!\cdot 2!}\cdot 2=\frac{4!}{2!}=12$$

 

즉, 35-12 = 23이다.

 

4. 30가지 맛이 제공되는 아이스크림을 세 번 떠서 담을 때, 가능한 맛의 조합은 몇 가지나 되는가? 단, 같은 맛도 중복하여 고를 수 있다고 한다.

풀이: 30가지 맛을 3번 고르는 중복조합의 수를 구하면 된다.

이는 30개의 데이터와 2개의 칸막이를 나열하는 것과 동일하다.

즉, 총 개수는 32개. 그리고 칸막이끼리 나열하는 경우의수 및 데이터 끼리 나열하는 경우의 수로 나누어 주면 된다.

$$_{30}\mathrm{H}_{3}=\binom{32}{3}=\binom{32}{29}=\frac{32!}{3!\cdot 29!}=\frac{30\cdot 31\cdot 32}{3!}=5\cdot 31\cdot 32=4960$$

 

5. x, y, z가 모두 자연수일 때, 방정식 x+y+y=5의 해는 몇 개인가?

풀이: 예제와는 달리, x, y, z 중 그 어떤 숫자도 0이 나올 수는 없다.

그렇다면 x, y, z에 미리 1씩 부여하고 나머지 2를 배치하는(중복 가능) 경우의 수와 동일하다.

즉, 3H2를 구하라는 의미. 이를 수식으로 나타내면 다음과 같다.

$$_{3}\mathrm{H}_{2}=\binom{4}{2}=\frac{4!}{2!\cdot 2!}=6$$